귀류법이라는 생각
어떤 주장을 바로 증명하기 어려울 때, 그 주장이 거짓이라고 가정합니다. 그 가정에서 규칙을 따라 밀고 나가다 보면 앞뒤가 맞지 않는 결론이 나옵니다. 가정이 틀렸다는 뜻이고, 따라서 원래 주장은 참입니다.
교과서의 대표 예는 2의 제곱근이 분수로 쓸 수 없다는 증명입니다. 분수로 쓸 수 있다고 가정하고 약분을 끝까지 했다고 치면, 분자와 분모가 둘 다 짝수라는 결론이 나와 "더 약분할 수 없다"는 전제와 부딪칩니다.
말로 들으면 추상적이지만, 격자 퍼즐로 하면 "따라가 보기"가 눈에 보이는 칸으로 바뀝니다.
퍼즐에서는 이렇게 쓴다
텐트와 나무에서 한 칸이 텐트인지 잔디인지 애매할 때 이렇게 합니다.
- 그 칸이 텐트라고 가정합니다.
- 규칙을 따라갑니다. 둘레 여덟 칸이 잔디가 되고, 그 줄의 남은 텐트 수가 줄고, 그 때문에 다른 나무의 후보가 하나로 좁혀지고…
- 어딘가에서 모순이 나옵니다. 짝지을 텐트가 없는 나무가 생기거나, 어떤 줄의 숫자를 채울 방법이 사라지거나, 텐트가 서로 닿아야만 하는 상황이 됩니다.
- 그러면 그 칸은 텐트가 아닙니다. 잔디로 확정입니다.
반대 방향도 똑같이 성립합니다. 비워 둔다고 가정했을 때 모순이 나오면 그 칸은 텐트입니다.
중요한 점 하나. 이 추론이 성립하려면 답이 하나뿐이라는 보장이 있어야 합니다. 답이 둘인 판에서는 모순이 안 나오고 두 갈래가 끝까지 살아남습니다. 그래서 유일한 정답이 전제입니다.
종이로 할 때
| 할 일 | 요령 |
|---|---|
| 가정한 칸 표시 | 다른 색 연필이나 동그라미로 감싸 둔다 — 나중에 지울 것이라 구분이 필요하다 |
| 가정에서 따라 나온 칸 | 같은 색으로 이어서 표시 — 되돌릴 때 통째로 지운다 |
| 모순을 만난 지점 | 작게 느낌표를 찍어 둔다 — 왜 모순인지 나중에 설명할 수 있어야 한다 |
| 가정이 맞았을 때 | 확정된 칸만 원래 색으로 다시 그린다 |
종이에서 가장 귀찮은 부분이 되돌리기입니다. 지우개로 지우다 보면 원래 확정했던 칸까지 같이 날아갑니다. 그래서 가정은 되도록 짧게 끝나는 칸에만 겁니다. 모순이 서너 수 안에 나올 것 같은 자리를 고르는 게 요령입니다.
가정이 길어지면
가정을 걸었는데 열 수, 스무 수를 가도 모순이 안 나오면 두 가지 중 하나입니다.
- 그 칸이 진짜 텐트라서 모순이 안 나오는 것 — 이 경우 그냥 풀려 버립니다.
- 자리를 잘못 고른 것 — 다른 칸에 걸었어야 합니다.
가정 안에서 또 가정을 거는 것은 피하는 편이 좋습니다. 사람이 머릿속에서 관리할 수 있는 깊이는 보통 한 겹입니다. 두 겹이 필요해 보인다면 대개 앞에서 놓친 단순한 수가 있습니다. 줄 숫자부터 다시 세어 보세요.
또 하나. 가정해 보기는 마지막 수단입니다. 빈칸 묶음 셈처럼 바로 확정을 주는 기법을 다 쓴 뒤에 꺼내는 쪽이 훨씬 빠릅니다.
앱에서
가정 레이어로 되돌리기 걱정 없이
텐트와 나무 앱의 보드 아래 가정을 누르면 가정 모드가 됩니다. 이때부터 놓는 칸은 보라색으로 따로 표시되고, 위쪽에 "가정 중 · 몇 칸"이 뜹니다. 끝낼 때는 확정으로 원래 색으로 굳히거나 버리기로 통째로 되돌립니다. 종이에서 가장 번거로운 지우개 작업이 없어집니다.
힌트가 모순을 짚어 줄 때
힌트의 근거 중에 "여기에 텐트를 놓아 보면 곧바로 규칙이 깨져요"가 있습니다. 바로 이 귀류법입니다. 반대로 "여기를 비워 두면 곧바로 규칙이 깨져요"가 나오면 그 칸은 텐트입니다. 힌트가 이 기법을 꺼냈다면 앞의 단순한 기법으로는 더 짚을 게 없다는 뜻입니다.
작은 판에서는 필요 없다
5×5와 7×7은 가정 없이 단순 정리만으로 끝까지 풀리는 판만 나옵니다. 가정해 보기가 꼭 필요해지는 것은 9×9부터입니다. 아이에게 설명할 때도 작은 판으로 규칙을 익힌 뒤 큰 판에서 가정을 꺼내는 순서가 자연스럽습니다.
자주 묻는 질문
가정해 보기는 결국 찍는 것 아닌가요?
다릅니다. 찍기는 결과를 확인할 방법 없이 고르는 것이고, 가정은 고른 뒤 규칙으로 검증해 모순이면 반대쪽을 확정합니다. 가정이 끝나면 운이 아니라 증명이 남습니다.
모순이 안 나오면 그 가정이 맞은 건가요?
답이 하나뿐인 판이라면, 끝까지 가서 모순 없이 완성되었다면 그게 답입니다. 다만 중간에서 애매하게 멈췄다면 아직 아무것도 증명되지 않은 상태이니 가정을 버리고 다른 칸을 보세요.
학교 수학 공부에 도움이 되나요?
귀류법의 구조를 손으로 여러 번 돌려 보는 효과는 있습니다. 다만 증명을 문장으로 쓰는 연습은 따로 필요합니다. 퍼즐은 "왜 그런지"를 말로 설명해 보게 하는 데까지 쓰는 게 좋습니다.
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